Regressione lineare semplice non parametrica

La caratteristica saliente dei metodi di regressione lineare non parametrica è costituita dalla loro robustezza nei confronti dei dati anomali (talora indicati come dati aberranti o outlier).

Essendo n il numero delle coppie di dati/punti esistono n · (n - 1) / 2 modi di connettere due punti qualsiasi con una retta, cioè esistono n · (n - 1) / 2 possibili coefficienti angolari [1]. Nel caso più semplice il coefficiente angolare b della retta di regressione è la mediana di questi valori e l'intercetta è la mediana degli n valori possibili di a calcolati mediante il coefficiente angolare trovato. Questi sono concettualmente i principi alla base della regressione lineare non parametrica, con possibili varianti da metodo a metodo.

Qui vediamo, confrontati con la regressione lineare semplice parametrica (regressione ordinaria), tre modelli di regressione lineare non parametrica:

→ la regressione lineare di Thiel-Sen;

→ la regressione lineare di Siegel;

→ la regressione quantilica.

Da notare che questi tre modelli di regressione lineare non parametrica assumono la x come variabile indipendente analogamente alla regressione lineare ordinaria.

Le funzioni necessarie per il calcolo delle tre regressioni lineari non parametriche sono incluse in due pacchetti aggiuntivi, mblm e quantreg, che devono essere scaricati dal CRAN. Trovate come al solito la documentazione dei pacchetti e in particolare il loro manuale di riferimento sul repository della documentazione [2].

Copiate questo script, incollatelo nella Console di R e premete ↵ Invio:

# REGRESSIONE LINEARE ORDINARIA E NON PARAMETRICA DI THEIL-SEN, DI SIEGEL, QUANTILICA

#

library(DAAG) # carica il pacchetto che include il set di dati ais

library(mblm) # carica il pacchetto per le regressioni di Theil-Sen e Siegel

library(quantreg) # carica il pacchetto per la regressione quantilica

#

var_x <- c(18, 46, 104, 72, 24, 63, 23, 58, 36, 82, 94) # variabile in ascisse

var_y <- c(21, 42, 109, 64, 102, 78, 19, 66, 42, 89, 91) # variabile in ordinate

#

regpar_yx <- lm(var_y ~ var_x) # regressione lineare ordinaria x variabile indipendente

a_yx <- regpar_yx$coefficients[1] # intercetta a

b_yx <- regpar_yx$coefficients[2] # coefficiente angolare b

#

reg_TS <- mblm(var_y ~ var_x, repeated=FALSE) # regressione lineare di Theil-Sen

a_TS <- reg_TS$coefficients[1] # intercetta a

b_TS <- reg_TS$coefficients[2] # coefficiente angolare b

#

reg_S = mblm(var_y ~ var_x, repeated=TRUE) # regressione lineare di Siegel

a_S <- reg_S$coefficients[1] # intercetta a

b_S <- reg_S$coefficients[2] # coefficiente angolare b

#

reg_q <- rq(var_y ~ var_x, tau=0.5) # regressione lineare quantilica

a_q <- reg_q$coefficients[1] # intercetta a

b_q <- reg_q$coefficients[2] # coefficiente angolare b

#

# traccia il grafico dei dati con le rette di regressione e aggiunge una legenda

#

windows() # apre una nuova finestra

plot(var_x, var_y, xlim = c(0,120), ylim = c(0,120), pch=1, xlab="Variabile x", ylab="Variabile y", main="Regressioni ordinaria, Theil-Sen, Siegel, quantilica", cex.main = 0.9) # grafico dei dati

abline(a_yx, b_yx, col="blue", lty=4) # retta regressione ordinaria

abline(a_TS, b_TS, col="red", lty=4) # retta regressione di Theil-Sen

abline(a_S, b_S, col="green", lty=1) # retta regressione di Siegel

abline(a_q, b_q, col="orange", lty=1) # retta regressione quantilica

legend(60, 30, legend=c("Regressione ordinaria", "Regressione di Theil-Sen", "Regressione di Siegel", "Regressione quantilica"), col=c("blue", "red", "green", "orange"), lty=c(4,4,1,1), cex=0.8) # aggiunge al grafico la legenda

#

# crea una tabella con intercetta e coefficiente angolare delle quattro rette di regressione

#

cells <- c(a_yx,b_yx,a_TS,b_TS,a_S,b_S,a_q,b_q) # genera l'array cells con i valori numerici di a e di b

rnames <- c("Regressione ordinaria", "Regressione di Theil-Sen", "Regressione di Siegel", "Regressione quantilica") # genera l'array rnames con i nomi delle righe

cnames <- c("Intercetta a", "Coefficiente angolare b") # genera l'array cnames con i nomi delle colonne

tabris <- matrix(cells, nrow=4, ncol=2, byrow=TRUE, dimnames=list(rnames, cnames)) # costruisce la tabella con i risultati a partire dagli array cells, rnames, cnames

tabris # mostra la tabella con i risultati

#

Questo è il grafico di dispersione (xy) dei dati, con le rette calcolate:

fare click per ingrandire

I risultati delle quattro equazioni

y = a + b · x

sono così riportati nella Console di R:

> tabris # mostra la tabella con i risultati

                         Intercetta a Coefficiente angolare b

Regressione ordinaria       24.078677               0.7389267

Regressione di Theil-Sen     6.529412               0.9852941

Regressione di Siegel        5.873402               1.0042750

Regressione quantilica       2.581395               1.0232558

Le cose da notare sono:

→ è evidente la presenza di un dato che si discosta in modo importante da tutti gli altri;

→ i risultati dei tre metodi non parametrici sono simili tra loro;

→ i risultati delle regressione ordinaria (parametrica) si discostano da quelli delle regressioni non parametriche.

Per verificare quanto il dato, chiaramente anomalo, influenzi le regressioni, eseguiamo nuovamente lo script, sostituendo la quarta e la quinta riga con queste due, nelle quali è stato eliminato il dato, il quinto, quello con le coordinate (x,y) uguali a (24, 102):

var_x <- c(18, 46, 104, 72, 63, 23, 58, 36, 82, 94) # variabile in ascisse

var_y <- c(21, 42, 109, 64, 78, 19, 66, 42, 89, 91) # variabile in ordinate

Ora (la figura viene omessa per brevità) i risultati sono diventati i seguenti:

> tabris # mostra la tabella con i risultati

                         Intercetta a Coefficiente angolare b

Regressione ordinaria        1.337096                1.019512

Regressione di Theil-Sen     2.729167                1.020833

Regressione di Siegel        2.654334                1.022497

Regressione quantilica       2.581395                1.023256

Come si vede dal confronto con i risultati precedenti, con l'eliminazione del dato anomalo i risultati della regressione ordinaria sono cambiati: la regressione fornisce ora risultati sovrapponibili a quelli dei tre metodi non parametrici. Poco sono cambiati, rispetti ai precedenti, i risultati della regressione di Thiel-Sen e di Siegel, mentre la regressione quantilica ha addirittura fornito identici valori nei due casi, un fatto molto interessante. I metodi non parametrici confermano la loro robustezza, mentre viene documentato come e quanto un dato anomalo possa influire sulla regressione ordinaria.

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[1] Per 100 coppie di dati il numero dei coefficienti angolari (sui quali calcolare la mediana) è uguale quindi a 4 950. Con 500 dati passiamo a 124 740. Con 1 000 dati passiamo a 499 500. 

[2] Available CRAN Packages By Name. URL consultato il 20/10/2018: https://goo.gl/hLC9BB

Regressione lineare semplice parametrica

La regressione lineare tout court, quella illustrata in tutti i testi di statistica e qui sviluppata con R, è una regressione lineare semplice (in contrapposizione alla regressione lineare multipla), parametrica (in contrapposizione alla regressione lineare non parametrica), x variabile indipendente (in contrapposizione ad alternative che non prevedono questo assunti). Dato che la denominazione razionale, quella completa, diverrebbe chilometrica, e dato che l'espressione regressione lineare è però troppo generica, laddove è opportuno semplificare impiegherò la denominazione regressione lineare ordinaria, con riferimento al fatto che è quella non solo dovunque illustrata ma anche più ampiamente impiegata.

Gli assunti alla base del modello matematico-statistico implicano una serie di requisiti che devono essere soddisfatti dai dati, che sono ben chiariti ad esempio in Marubini [1] e in Snedecor [2], ma anche online [3]. Per il caso speciale, ma non infrequente, nel quale nessuna delle due variabili confrontate abbia i requisiti richiesti per essere considerata come variabile indipendente, vedere anche il post La regressione lineare: assunti e modelli.

Essendo x la variabile indipendente posta sull'asse delle ascisse, y la variabile dipendente posta sull'asse delle ordinate, ed essendo soddisfatti i requisiti previsti per i dati, il metodo dei minimi quadrati consente di calcolare l'intercetta a e il coefficiente angolare b della retta di regressione di equazione

y = a + b∙x

che meglio approssima la distribuzione dei dati sperimentali.

In R il calcolo dell'equazione della retta di regressione viene effettuato mediante la funzione lm(), che può essere applicata anche al caso di più variabili indipendenti, consentendo quindi il calcolo della regressione lineare multipla [4]. Ma la cosa più interessante è che R, oltre al calcolo dell'equazione della retta di regressione, un calcolo di per sé semplice, fornisce una serie molto interessante di strumenti che consentono di valutare quanto i dati soddisfano i requisiti richiesti, o in altre parole di valutare se la regressione lineare descrive in modo adeguato la relazione tra le due variabili.

Qui impieghiamo come esempi due diversi set di dati, per uno solo dei quali, come vedremo, la regressione lineare fornisce risultati adeguati.

Il primo è il set di dati ais, nel quale prendiamo in considerazione la concentrazione degli eritrociti (espressa in 10¹²/L) e il valore ematòcrito (espresso in %), due variabili che, analizzate mediante i coefficienti di correlazione parametrici e non parametrici, hanno mostrato di essere correlate, e che, all'ispezione visiva di una serie di grafici di dispersione (xy) realizzati mediante i correlogrammi, hanno mostrato valori ben allineati su una possibile retta.

I pacchetti aggiuntivi DAAG, gvlma e car, se non l'avete già fatto, devono essere preventivamente scaricati e installati dal CRAN. Copiate e incollate nella Console di R questo script e premete ↵ Invio:

# REGRESSIONE LINEARE SEMPLICE PARAMETRICA y = a + b · x

#

library(DAAG) # carica il pacchetto che include il set di dati ais

library(gvlma) # carica il pacchetto per la funzione gvlma()

library(car) # carica il pacchetto per analisi ouliers e analisi grafica

str(ais) # mostra la struttura dei dati

#

var_x <- ais$rcc # variabile eritrociti x in ascisse

var_y <- ais$hc # variabile ematòcrito y in ordinate

reglin <- lm(var_y ~ var_x) # calcola intercetta (a) e coefficiente angolare (b)

coefficients(reglin) # mostra i coefficienti dell'equazione hc = a + b · rcc

confint(reglin, level=0.95) # calcola gli intervalli di confidenza dell'intercetta e del coefficiente angolare

#

# analisi statistica della adeguatezza della regressione lineare

#

summary(reglin) # mostra un riepilogo dei risultati

t.test(residuals(reglin)) # verifica che la media degli errori non sia significativamente diversa da zero

shapiro.test(residuals(reglin)) # verifica la normalità della distribuzione degli errori

summary(gvlma(reglin)) # test globale per l'assunto di linearità

outlierTest(reglin) # valore p di Bonferonni per la presenza di dati anomali (outliers)

#

# analisi grafica della adeguatezza della regressione lineare

#

windows() # apre una nuova finestra

par(mfrow=c(2,2)) # predispone la suddivisione della finestra in quattro quadranti, uno per grafico

#

newx = seq(min(var_x), max(var_x), by = 0.01) # valori della x per i quali calcolare l'intervallo di confidenza

conf_interval <- predict(reglin, newdata=data.frame(var_x=newx), interval="confidence", level = 0.95) # calcola gli intervalli di confidenza

plot(var_x, var_y, xlab="Eritrociti (10^12/L)", ylab="Ematòcrito (%)", main="Regressione lineare y = a + b·x") # grafico dei dati

abline(reglin, col="lightblue") # retta di regressione

lines(newx, conf_interval[,2], col="blue", lty=2) # limite di confidenza inferiore

lines(newx, conf_interval[,3], col="blue", lty=2) # limite di confidenza superiore

#

plot(var_y, residuals(reglin), xlab="Ematòcrito (%)", ylab="Ematòcrito osservato - calcolato (%)", main="Analisi delle differenza residue") # grafico delle differenza tra ematòcrito osservato e ematòcrito calcolato con l'equazione della retta

#

influencePlot(reglin, xlab="t-quantili (il diametro dei cerchi", sub="è proporzionale alla distanza di Cook)", ylab="Residui studentizzati", main="Influenza dei dati") # grafico dell'influenza dei dati sulle conclusioni

#

qqPlot(reglin, xlab="t-quantili", ylab="Residui studentizzati", main="Quantili vs. residui") # mostra il grafico dei quantili per i residui studentizzati

#

Dopo avere caricato i pacchetti aggiuntivi necessari, e dopo avere mostrato con str(ais) la struttura dei dati, con var_x <- ais$rcc e con var_y <- ais$hc sono memorizzate negli oggetti var_x e var_y rispettivamente la variabile indipendente x, posta in ascisse, e la variabile dipendente y, posta in ordinate. In questo modo sarà possibile riutilizzare per intero lo script semplicemente sostituendo ad ais$rcct e ad ais$hc i vettori contenenti i propri dati.

Con reglin <- lm(var_y ~ var_x) l'equazione della retta di regressione che esprime la y in funzione della x viene calcolata e memorizzata nell'oggetto reglin, che a questo punto diventa l'argomento chiave, l'argomento contenente i dati in ingresso impiegati nelle funzioni successive [5].

Con le funzioni coefficients() e confint() sono infine mostrati i coefficienti della retta di regressione e i loro intervalli di confidenza al 95%

> coefficients(reglin) # mostra i coefficienti dell'equazione hc = a + b · rcc 
(Intercept)       var_x 
   8.183033    7.398052 
> confint(reglin, level=0.95) # calcola gli intervalli di confidenza dell'intercetta e del coefficiente angolare 
               2.5 %    97.5 %
(Intercept) 6.173717 10.192350
var_x       6.974206  7.821898

e pertanto questa risulta essere l'equazione della retta di regressione:

hc = 8.183033 + 7.398052 · rcc

A questo punto seguono due blocchi di codice, il primo per effettuare una analisi statistica, e il secondo per effettuare una analisi grafica della regressione, entrambe allo scopo di valutare, come già detto, se la regressione lineare descrive in modo adeguato la relazione tra le due variabili.

Per quanto concerne l'analisi statistica, le principali conclusioni sono quelle tratte con il test globale per l'assunto di linearità effettuato mediante la funzione gvlma(), che conferma il fatto che gli assunti che stanno alla base del modello di regressione lineare sono tutti soddisfatti:

ASSESSMENT OF THE LINEAR MODEL ASSUMPTIONS
USING THE GLOBAL TEST ON 4 DEGREES-OF-FREEDOM:
Level of Significance =  0.05 

Call:
 gvlma(x = reglin) 

                      Value p-value                Decision
Global Stat        3.479904  0.4809 Assumptions acceptable.
Skewness           2.233166  0.1351 Assumptions acceptable.
Kurtosis           0.958154  0.3277 Assumptions acceptable.
Link Function      0.005239  0.9423 Assumptions acceptable.
Heteroscedasticity 0.283345  0.5945 Assumptions acceptable.

Il test di Bonferroni evidenzia la presenza di un possibile dato anomalo (dato aberrante o outlier), il dato numero 68:

> outlierTest(reglin) # valore p di Bonferonni per la presenza di dati anomali (outliers) 
No Studentized residuals with Bonferonni p < 0.05
Largest |rstudent|:
    rstudent unadjusted p-value Bonferonni p
68 -3.569525         0.00044828     0.090552

Le conclusioni dell'analisi grafica confermano, con i valori delle differenze residue dispersi in modo casuale, che la regressione lineare descrive in modo adeguato la relazione tra le due variabili

fare click per ingrandire

e confermano anche la possibile presenza di dati anomali con il grafico delle distanze di Cook e con il grafico dei quantili, dati che sono evidenziati sia direttamente nei grafici, sia nei rispettivi riepiloghi riportati nella Console di R:

> influencePlot(reglin, xlab="t-quantili (il diametro dei cerchi", sub="è proporzionale alla distanza di Cook)", ylab="Residui studentizzati", main="Influenza dei dati") # grafico dell'influenza dei dati sulle conclusioni 
      StudRes         Hat      CookD
68  -3.569525 0.006301040 0.03815682
78   3.186317 0.009724284 0.04766681
161 -2.179789 0.039758811 0.09655642
166  1.363972 0.099962743 0.10287127
> #  
> qqPlot(reglin, xlab="t-quantili", ylab="Residui studentizzati", main="Quantili vs. residui") # mostra il grafico dei quantili per i residui studentizzati 
[1] 68 78

I dati per i quali i metodi di identificazione meglio concordano sono il numero 68 e il numero 78, ma anche i dati numero 161 e numero 166 meritano di essere valutati. Questi dati corrispondono in effetti a quelli che più attirano l'attenzione in un grafico di dispersione impiegato per illustrare la funzione di R che consente di identificare i dati in un grafico con un click. E stanno a indicare i casi che influenzano in modo importante la regressione. Si tratta di casi dei quali sarebbe importante controllare la validità, o che potrebbero essere situati in intervalli di valori per i quali potrebbe essere opportuno acquisire più dati.

Vediamo ora la stessa identica analisi applicata al set di dati galton. I pacchetti aggiuntivi psych, gvlma e car, se non l'avete già fatto, devono essere preventivamente scaricati e installati dal CRAN. Copiate e incollate nella Console di R questo script e premete ↵ Invio:

# REGRESSIONE LINEARE SEMPLICE PARAMETRICA y = a + b · x

#

library(psych) # carica il pacchetto che include il set di dati galton

library(gvlma) # carica il pacchetto per la funzione gvlma()

library(car) # carica il pacchetto per analisi outliers e analisi grafica

str(galton) # mostra la struttura dei dati

#

var_x <- galton$parent # variabile altezza dei padri x in ascisse

var_y <- galton$child # variabile altezza dei figli y in ordinate

reglin <- lm(var_y ~ var_x) # calcola intercetta (a) e coefficiente angolare (b)

coefficients(reglin) # mostra i coefficienti dell'equazione hc = a + b · rcc

confint(reglin, level=0.95) # calcola gli intervalli di confidenza dell'intercetta e del coefficiente angolare

#

# analisi statistica della adeguatezza della regressione lineare

#

summary(reglin) # mostra un riepilogo dei risultati

t.test(residuals(reglin)) # verifica che la media degli errori non sia significativamente diversa da zero

shapiro.test(residuals(reglin)) # verifica la normalità della distribuzione degli errori

summary(gvlma(reglin)) # test globale per l'assunto di linearità

outlierTest(reglin) # valore p di Bonferonni per la presenza di dati anomali (outliers)

#

# analisi grafica della adeguatezza della regressione lineare

#

windows() # apre una nuova finestra

par(mfrow=c(2,2)) # predispone la suddivisione della finestra in quattro quadranti, uno per grafico

#

newx = seq(min(var_x), max(var_x), by = 0.01) # valori della x per i quali calcolare l'intervallo di confidenza

conf_interval <- predict(reglin, newdata=data.frame(var_x=newx), interval="confidence", level = 0.95) # calcola gli intervalli di confidenza

plot(var_x, var_y, xlab="Altezza dei padri (pollici)", ylab="Altezza dei figli (pollici)", main="Regressione lineare y = a + b·x") # grafico dei dati

abline(reglin, col="lightblue") # retta di regressione

lines(newx, conf_interval[,2], col="blue", lty=2) # limite di confidenza inferiore

lines(newx, conf_interval[,3], col="blue", lty=2) # limite di confidenza superiore

#

plot(var_y, residuals(reglin), xlab="Altezza dei figli (pollici)", ylab="Altezza osservata - calcolata (pollici)", main="Analisi delle differenza residue") # grafico delle differenza tra altezza osservata e altezza calcolata con l'equazione della retta

#

influencePlot(reglin, xlab="t-quantili (il diametro dei cerchi", sub="è proporzionale alla distanza di Cook)", ylab="Residui studentizzati", main="Influenza dei dati") # grafico dell'influenza dei dati sulle conclusioni

#

qqPlot(reglin, xlab="t-quantili", ylab="Residui studentizzati", main="Quantili vs. residui") # mostra il grafico dei quantili per i residui studentizzati

#

Anche in questo caso, per quanto concerne l'analisi statistica, le principali conclusioni sono quelle tratte con il test globale per l'assunto di linearità effettuato mediante la funzione gvlma(), che però questa volta ci dice che gli assunti che stanno alla base del modello di regressione lineare, a parte la curtosi, non sono per niente soddisfatti:

ASSESSMENT OF THE LINEAR MODEL ASSUMPTIONS
USING THE GLOBAL TEST ON 4 DEGREES-OF-FREEDOM:
Level of Significance =  0.05 

Call:
 gvlma(x = reglin) 

                    Value   p-value                   Decision
Global Stat        25.489 4.011e-05 Assumptions NOT satisfied!
Skewness            8.979 2.731e-03 Assumptions NOT satisfied!
Kurtosis            1.965 1.610e-01    Assumptions acceptable.
Link Function       4.632 3.138e-02 Assumptions NOT satisfied!
Heteroscedasticity  9.913 1.641e-03 Assumptions NOT satisfied!

Il test di Bonferroni evidenzia la presenza di un possibile dato anomalo (dato aberrante o outlier), il dato numero 1:

> outlierTest(reglin) # valore p di Bonferonni per la presenza di dati anomali (outliers) 
No Studentized residuals with Bonferonni p < 0.05
Largest |rstudent|:
   rstudent unadjusted p-value Bonferonni p
1 -3.512671         0.00046509      0.43161

Le conclusioni dell'analisi grafica confermano, con i valori delle differenze residue che mostrano una proporzionalità diretta con l'altezza, che i dati in questione violano uno degli assunti cruciali del modello di regressione lineare 

fare click per ingrandire

e confermano anche la possibile presenza di dati anomali con il grafico delle distanze di Cook e con il grafico dei quantili, dati che sono evidenziati sia direttamente nei grafici, sia nei rispettivi riepiloghi riportati nella Console di R:

> influencePlot(lm(galton$child ~ galton$parent), xlab="t-quantili (il diametro dei cerchi", sub="è proporzionale alla distanza di Cook)", ylab="Residui studentizzati", main="Influenza dei dati") # grafico dell'influenza dei dati sulle conclusioni
       StudRes         Hat       CookD
1   -3.5126706 0.002699826 0.016499436
2   -2.9226403 0.001090010 0.004622768
857  0.4839886 0.008511029 0.001006222
897  2.6611087 0.003740530 0.013207269
898  0.9327550 0.008511029 0.003734739
> #
> qqPlot(lm(galton$child ~ galton$parent), xlab="t-quantili", ylab="Residui studentizzati", main="Quantili vs. residui") # mostra il grafico dei quantili per i residui studentizzati
[1] 1 2

I dati numero 1, 2, 857, 897, 898 forniti dalla funzione influencePlot() stanno di nuovo a indicare i casi che influenzano in modo importante la regressione, casi dei quali sarebbe importante controllare la validità, o che potrebbero essere situati in intervalli di valori per i quali potrebbe essere opportuno acquisire più dati. Anche la funzione qqPlot() fornisce, oltre al grafico, l'indicazione di due punti da controllare, che sono punti 1, 2 già indicati dalla funzione precedente.

Il set di dati galton, oltre a non soddisfare i requisiti fondamentali che si richiedono ai dati per l'applicazione della regressione, è anche un esempio di dati nei quali non è chiaro, a dispetto delle conclusioni tratte da Francis Galton di una "regressione verso la media" delle altezze dei figli rispetto a quelle dei padri, quale delle due variabili debba essere considerata la variabile indipendente. Le implicazioni di questo fatto, le conseguenze che esso determina nelle conclusioni tratte dalla regressione lineare, e il calcolo della regressione lineare con modelli alternativi, sono discussi a parte nel post La regressione lineare: assunti e modelli.

Si rammentano infine, con queste cinque righe di codice,

fitted(reglin) # ricalcola i valori mediante l'equazione della retta di regressione

residuals(reglin) # calcola le differenze residue tra valore osservato e valore calcolato

anova(reglin) # analisi della varianza per le differenze spiegate dalle x

vcov(reglin) # matrice di covarianza dell'intercetta e del coefficiente angolare

influence(reglin) # influenza dei singoli dati sulla regressione

altrettante funzioni di R per l'analisi dei dati della regressione. Sono molto analitiche, con un estremo dettaglio numerico, e sebbene siano state qui aggiunte principalmente per completezza, potrebbero essere utili in casi particolari, per una analisi ancor più dettagliata della regressione, a chi volesse approfondire ulteriormente il tema. Possono essere impiegate, copiandole e incollandole nella Console di R, in un qualsiasi punto degli script, ma necessariamente dopo che è stato generato l'oggetto reglin.

Come potete notare entrambi gli script sono stato realizzati in modo da rendere immediato il loro riutilizzo: è sufficiente assegnare alla variabile x (var_x <-) e alla variabile y (var_y <-) i vostri nuovi dati (e personalizzare opportunamente titoli e legende).

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[1] Bossi A, Cortinovis I, Duca PG, Marubini E. Introduzione alla statistica medica. La Nuova Italia Scientifica, Roma, 1994, ISBN 88-430-0284-8. Il modello statistico nella regressione lineare, pp-305-308.

[2] Snedecor GW, Cochran WG. Statistical Methods. The Iowa State University Press, 1980, ISBN 0-8138-1560-6. The matematical model in linear regression, pp.153-157.

[3] Regressione lineare. Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. URL consultato il 06/02/2019: https://goo.gl/YDtkZW

[4] Digitate help(lm) nella Console di R per la documentazione della funzione lm().

[5] Digitate help(nomedellafunzione) nella Console di R per la documentazione delle funzioni impiegate. Informazioni più esaurienti sono contenute nei manuali di riferimento dei pacchetti aggiuntivi qui impiegati, che trovate alla pagina Available CRAN Packages By Name. URL consultato il 01/02/20198: https://goo.gl/hLC9BB