Statistica e grafica con R

25 aprile 2026

Regressione lineare media geometrica

Per illustrare il tema, è opportuno ricordare gli assunti alla base della regressione lineare ordinaria cioè della regressione lineare x variabile indipendente con il metodo dei minimi quadrati [1] [2] che esprime la y in funzione della x:

→ in corrispondenza di una serie di valori dati della x abbiamo altrettanti valori misurati della y;

→ in quanto misurati i valori della y sono affetti da un errore casuale che ha una distribuzione gaussiana;

→ per tutti i valori della x la distribuzione dell'errore casuale della y ha la medesima varianza;

→ la media delle distribuzioni gaussiane degli errori della y viene allineata su una retta avente equazione y = a₁ + b₁·x

Esprimendo la x in funzione della y e avendo per una serie di valori dati della y altrettanti valori misurati della x si ha la regressione lineare y variabile indipendente, mentre l'equazione della retta assume la forma x = a₂ + b₂·y

In condizioni usuali questo secondo modo di analizzare i dati non viene impiegato: per convenzione la variabile indipendente viene sempre riportata in ascisse e la variabile dipendente viene riportata in ordinate, quindi si procede con il calcolo della regressione lineare x variabile indipendente, o regressione lineare ordinaria, quella cui di fatto ci si riferisce quando si parla semplicemente di regressione lineare.

Tuttavia i due modi di vedere riportati sopra diventano fondamentali quando entrambe le variabili sono il risultato di un processo di misura, e quindi non esiste una variabile indipendente. In questo caso la soluzione più semplice ma anche la più robusta, che assegna lo stesso peso agli errori di misura della x e a quelli della y, è rappresentata dalla regressione lineare che impiega come coefficiente angolare b la media geometrica dei due coefficienti angolari, x variabile indipendente e y variabile indipendente [3],[4].

Nel set di dati ais contenuto nel pacchetto DAAG [5] abbiamo 202 valori di concentrazione degli eritrociti, espressa in migliaia di miliardi per litro di sangue (10¹²/L) – o milioni per microlitro di sangue (10⁶/µL), le due espressioni sono numericamente equivalenti – e i corrispondenti valori di emoglobina, la cui concentrazione è espressa in grammi per decilitro di sangue (g/dL). Entrambe le grandezze sono misurate quindi nessuna delle due può essere assunta come variabile indipendente, e procediamo con il calcolo della regressione lineare media geometrica.

Innanzitutto calcoliamo la regressione lineare x variabile indipendente y = a₁ + b₁·x

# REGRESSIONE LINEARE media geometrica

library (DAAG) # carica il pacchetto che include il set di dati ais

x <- ais$rcc # eritrociti in ascisse

y <- ais$hg # emoglobina in ordinate

# regressione y = a + b·x (rcc ascisse, hg in ordinate)

regpar <- lm(y ~ x) # regressione lineare ordinaria

a_yx <- regpar$coefficients[1] # intercetta a

b_yx <- regpar$coefficients[2] # coefficiente angolare b

Dopo avere caricato il pacchetto che include il set di dati ais per chiarezza semantica gli eritrociti sono ridenominati x e l'emoglobina è ridenominata y.

Con la funzione lm() viene effettuato il calcolo della regressione lineare ordinaria con la y espressa in funzione della x (y ~ x) e sono memorizzati i valori così calcolati del coefficiente angolare (a_yx) e dell'intercetta (b_yx) della retta di regressione y = a₁ + b₁·x

Calcoliamo ora la regressione lineare y variabile indipendente x = a₂ + b₂·y in due passaggi:

→ prima calcoliamo la regressione lineare ordinaria invertendo tra loro le due variabili;

→ poi ripristiniamo la x in ascisse e la y in ordinate in modo che il grafico possa essere sovrapposto a quello della regressione lineare x variabile indipendente.

# regressione x = a + b·y (hg in ascisse, rcc in ordinate)

regpar_1 <- lm(x ~ y) # regressione lineare ordinaria (con variabili invertite)

a_xy <- - regpar_1$coefficients[1] / regpar_1$coefficients[2] # intercetta a ripristinando rcc in ascisse e hg in ordinate

b_xy <- 1 / regpar_1$coefficients[2] # coefficiente angolare b ripristinando rcc in ascisse e hg in ordinate)

Con la funzione lm() viene effettuato il calcolo della regressione lineare ordinaria con la x espressa in funzione della y (x ~ y), quindi sono memorizzati i valori del coefficiente angolare a_xy = - a₂/b₂ e dell'intercetta b_xy = 1/b₂ ricavati dalla retta di regressione x = a₂ + b₂·y esplicitando quest'ultima rispetto alla y essendo quindi

x = a₂ + b₂·y ovvero b₂·y = - a₂ + x ovvero y = - a₂/b₂ + (1/b₂)·x

A questo punto per la regressione lineare media geometrica con equazione y = a₃ + b₃·x si calcola il coefficiente angolare b₃ come media geometrica dei due coefficienti angolari b_yx (b₁) e b_xy (1/b₂) ovvero come radice quadrata del loro prodotto (prima riga)

# regressione media geometrica

b_mg <- sqrt(b_yx*b_xy) # coefficiente angolare b media geometrica

a_mg <- mean(y) - (b_mg * (mean(x))) # intercetta a = ȳ - b·x̄

quindi dal coefficiente angolare b₃ così calcolato si ricava (seconda riga) l'intercetta a₃ come media delle y meno b₃ volte la media delle x

a₃ = ȳ - b₃·x̄

Per rappresentare il tutto riportiamo infine un grafico con le tre rette di regressione e aggiungiamo una tabella con i tre coefficienti angolari e le tre intercette calcolate.

# grafico

plot(x, y, xlim = c(0,8), ylim = c(0,20), xaxs="i", yaxs="i", xlab="rcc", ylab="hg", cex.main = 0.9) # grafico dei dati

abline(a_yx, b_yx, col="blue", lty=4) # retta di regressione x variabile indipendente

abline(a_xy, b_xy, col="red", lty=4) # retta di regressione y variabile indipendente

abline(a_mg, b_mg, col="green", lty=1) # retta di regressione media geometrica

# legenda

legend(3.5, 7.5, legend=c("Regressione x variabile indipendente", "Regressione y variabile indipendente", "Regressione media geometrica"), col=c("blue", "red", "green"), lty=c(4,4,1), cex=0.8) # aggiunge al grafico la legenda

# genera la tabella con i risultati delle regressioni

interc_a <- c(a_yx, a_xy, a_mg) # array con le intercette

cofang_b <- c(b_yx, b_xy, b_mg) # array con i coefficienti angolari

tabris <- data.frame(interc_a, cofang_b) # combina gli array in una tabella

rownames(tabris) <- c("Regressione x variabile indipendente", "Regressione y variabile indipendente", "Regressione media geometrica") # aggiunge i nomi delle righe

colnames(tabris) <- c("Intercetta a", "Coefficiente angolare b") # aggiunge i nomi delle colonne

tabris # mostra la tabella con i risultati

Con la funzione plot() viene realizzato il grafico impiegando, accanto agli usuali argomenti, gli argomenti xaxs="i" e yaxs="i" che allineano inizio e fine delle scale al riquadro grafico (gli argomenti di default sono xaxs="r" e yaxs="r", e lasciano il 6% di spazio aggiuntivo tra inizio e fine delle scale e riquadro grafico, si può fare una prova con questi valori per visualizzare la differenza).

Con la funzione abline() sono poi aggiunte al grafico le rette di regressione. e con la funzione legend() una legenda per identificarle.

Dai valori delle intercette a_yx, a_xy e a_mg e dai valori dei coefficienti angolari b_yx, b_xy e b_mg viene infine costruita la tabella con la sintesi dei risultati.

> tabris # mostra la tabella con i risultati

Intercetta a Coefficiente angolare b

Regressione x variabile indipendente 2.0897326 2.644125

Regressione y variabile indipendente -1.2275298 3.347141

Regressione media geometrica 0.5287507 2.974938

Si può fare una verifica dei risultati impiegando il pacchetto lmodel2 e, dopo averlo installato, eseguendo

# regressione lineare con più modelli

library(lmodel2)

lmodel2(y ~ x, nperm=1000)

che dopo alcune righe di commenti ci fornisce

Regression results

Method Intercept Slope Angle (degrees) P-perm (1-tailed)

1 OLS 2.0897326 2.644125 69.28353 0.000999001

2 MA -0.8840492 3.274348 73.01710 0.000999001

3 SMA 0.5287507 2.974938 71.42037 NA

Confidence intervals

Method 2.5%-Intercept 97.5%-Intercept 2.5%-Slope 97.5%-Slope

1 OLS 1.1885079 2.9909574 2.454020 2.834229

2 MA -2.0733368 0.1584401 3.053417 3.526390

3 SMA -0.3969115 1.3971493 2.790902 3.171111

ovvero intercetta e coefficiente angolare della regressione lineare ordinaria (OLS) e della regressione lineare media geometrica (SMA) – identici a quelli ottenuti con il nostro codice – e l'intervallo di confidenza al 95% dell'intercetta della regressione lineare media geometrica -0.3969115 1.3971493 che ci conferma che l'intercetta 0.5287507 non è significativamente diversa da 0 (zero) in quanto entrambi i valori sono inclusi nell'intervallo (per inciso MA sta per Major Axis e indica la regressione ortogonale).

Domanda: ma perché non impiegare addirittura subito il pacchetto lmodel2?

Risposta: perché si sono voluti illustrare i concetti e i passaggi alla base della regressione lineare media geometrica. Una volta confermato che il pacchetto ci fornisce i risultati attesi, nulla osta che si proceda per vie brevi e si impieghino le sue funzioni, ma a questo punto con una maggior consapevolezza del tema.

Conclusione:

→ l'emoglobina, la proteina che trasporta l'ossigeno dai polmoni ai tessuti, è contenuta esclusivamente nei globuli rossi (o eritrociti) del sangue e pertanto ci si attende una relazione di proporzionalità lineare tra la concentrazione di questi e la concentrazione dell'emoglobina;

→ dati empirici inoppugnabili ci dicono che in assenza di eritrociti deve necessariamente essere assente l'emoglobina, quindi la retta di regressione dovrebbe passare per l'origine degli assi (x,y = 0,0).

→ eritrociti ed emoglobina sono entrambi il risultato di misure quindi nessuna delle due grandezze può essere assunta come variabile indipendente;

→ la regressione media geometrica, che media tra regressione x variabile indipendente e regressione y variabile indipendente assegnando uguale peso all'errore di misura loro proprio, fornisce un valore dell'intercetta che non è significativamente diverso da 0; il fatto che il valore non sia esattamente uguale a 0 non dipende dal modello di regressione, bensì risiede nell'informazione contenuta nei dati, che per il fatto di essere molto concentrati in un ambito di valori ristretto e molto lontani dallo 0, forniscono una informazione insufficiente per rendere accurata una estrapolazione a così elevata distanza dai dati sperimentali;

→ se, come bisognerebbe fare, si evita l'estrapolazione e si traggono le conclusioni all'interno dei valori effettivamente osservati, in assenza di una variabile indipendente la regressione media geometrica è quella che fornisce i risultati concettualmente più validi;

→ a fronte della granitica certezza che due variabili debbano raggiungere congiuntamente il valore 0 è possibile impiegare un modello di regressione alternativo avente equazione della retta y = b·x che non prevede una intercetta in quanto impone il passaggio della retta per l'origine degli assi [6].

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[1] Bossi A, Cortinovis I, Duca PG, Marubini E. Introduzione alla statistica medica. La Nuova Italia Scientifica, Roma, 1994, ISBN 88-430-0284-8. Il modello statistico nella regressione lineare, pp. 305-308.

[2] Snedecor GW, Cochran WG. Statistical Methods. The Iowa State University Press, 1980, ISBN 0-8138-1560-6. The matematical model in linear regression, pp. 153-157.

[3] Ling Leng et al. Ordinary least square regression, orthogonal regression, geometric mean regression and their applications in aerosol science. J. Phys. 2007;Conf. Ser. 78 012084. DOI: 10.1088/1742-6596/78/1/012084

https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/78/1/012084

[4] Shaoji Xu. A Property of Geometric Mean Regression. The American Statistician 2014;68(4);277-281. DOI: 10.1080/00031305.2014.962763

https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00031305.2014.962763

[5] Vedere il post Il set di dati ais nel quale trovate anche come caricare i dati senza impiegare il pacchetto DAAG.

[6] Vedere il post Regressione lineare passante per l'origine.

Regressione lineare passante per l'origine

Ci sono dei casi nei quali dobbiamo riuscire a coniugare la razionalità statistica teorica con le evidenze imposte dai dati empirici, vediamo un esempio.

L'emoglobina, la proteina che trasporta l'ossigeno dai polmoni ai tessuti, è contenuta esclusivamente nei globuli rossi (o eritrociti) del sangue e ci si attende quindi una relazione di proporzionalità lineare tra la concentrazione dell'emoglobina e la concentrazione degli eritrociti. Inoltre nel caso limite di una concentrazione degli eritrociti ridotta a zero (0) anche l'emoglobina deve avere una concentrazione pari a zero e quindi la relazione di proporzionalità lineare tra le due grandezze dovrebbe essere rappresentata da una retta che passa per l'origine degli assi (x,y = 0,0).

Nel set di dati ais contenuto nel pacchetto DAAG [1] abbiamo 202 valori di concentrazione degli eritrociti, espressa in migliaia di miliardi per litro di sangue (10¹²/L) – o milioni per microlitro di sangue (10⁶/µL), le due espressioni sono numericamente equivalenti – e i corrispondenti valori di emoglobina, la cui concentrazione è espressa in grammi per decilitro di sangue (g/dL).

Per analizzare i dati impieghiamo inizialmente la regressione lineare ordinaria.

# REGRESSIONE LINEARE

library (DAAG) # carica il pacchetto che include il set di dati ais

x <- ais$rcc # riporta gli eritrociti in ascisse

y <- ais$hg # riporta l'emoglobina in ordinate

reglin <- lm(y ~ x) # calcola la regressione lineare ordinaria

summary(reglin) # risultati della regressione

Dopo avere caricato il pacchetto che include il set di dati ais per chiarezza semantica gli eritrociti sono ridenominati x e l'emoglobia è ridenominata y.

Quindi viene calcolata con la funzione lm() la retta di regressione che esprime la y in funzione della x (y ~ x), e con la funzione summary() sono riportate le statistiche della regressione.

> summary(reglin) # risultati della regressione

Call:

lm(formula = y ~ x, data = ais)

Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max

-1.66939 -0.44231 0.03338 0.44605 1.50594

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) 2.08973 0.45703 4.572 8.44e-06 ***

x 2.64412 0.09641 27.427 < 2e-16 ***

---

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0.626 on 200 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.79, Adjusted R-squared: 0.7889

F-statistic: 752.2 on 1 and 200 DF, p-value: < 2.2e-16

Le cose che ci interessano principalmente in questa analisi numerica sono due:

→ la prima è che la retta di regressione y=2.08973+2.64412·x quando poniamo x=0 intercetta l'asse delle y al valore = 2.08973 e quindi non passa per l'origine degli assi, un fatto che cozza contro quanto atteso in base all'evidenza empirica;

→ la seconda è che il valore di R² – per definizione compreso tra 0 e 1 – che rappresenta la quota di varianza spiegata dalla retta di regressione, in questo caso è uguale a 0.79 (ci servirà tra poco come termine di paragone).

A questo punto aggiungiamo un grafico con i dati e con la retta di regressione.

plot(x, y, xlim=c(0,8), ylim=c(0,20), xaxs="i", yaxs="i", xlab="rcc", ylab="hg", main="Regressione lineare ordinaria e passante per l'origine degli assi", cex.main=0.9) # grafico dei dati

abline(reglin, col="blue") # retta di regressione

Con la funzione abline() viene poi aggiunta al grafico la retta di regressione, che conferma il risultato nient'affatto soddisfacente.

A fronte della nostra certezza che in assenza di eritrociti deve essere assente anche l'emoglobina, ripetiamo i calcoli impiegando un modello di regressione che impone il passaggio della retta per l'origine degli assi.

reglin0 <- lm(y ~ 0 + x) # regressione lineare passante per x=0 e y=0

abline(reglin0, col="red") # retta di regressione passante per x=0 e y=0

summary(reglin0) # risultati della regressione

Per farlo impieghiamo nella funzione lm() l'argomento y ~ 0 + x quindi con la funzione abline() riportiamo sul grafico la corrispondente retta di regressione.

Infine validiamo dal punto di vista statistico i risultati della regressione impiegando la funzione summary().

> summary(reglin0) # risultati della regressione

Call:

lm(formula = y ~ 0 + x, data = ais)

Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max

-2.18149 -0.45742 0.05747 0.46888 1.60372

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

x 3.08288 0.00974 316.5 <2e-16 ***

---

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0.6562 on 201 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.998, Adjusted R-squared: 0.998

F-statistic: 1.002e+05 on 1 and 201 DF, p-value: < 2.2e-16

La conclusione?

Impiegando un modello alternativo che, sulla base di un dato biologico certo, impone il passaggio della retta di regressione per l'origine degli assi:

→ le differenze residue tra i singoli punti e la retta di regressione (Residuals) diventano un poco superiori a quelle della regressione lineare ordinaria, ma si tratta di un fatto atteso in quanto questa, impiegando il metodo dei minimi quadrati, è per definizione quella che li minimizza;

→ il valore di R² – che con la regressione ordinaria era, lo ricordiamo, 0.79 – migliora aumentando a 0.998;

→ la retta di regressione passante per l'origine degli assi spiega il 99.8% della varianza osservata, un risultato che sfiora il massimo teorico e che conferma la validità del razionale e del modello alternativo impiegato.

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[1] Vedere il post Il set di dati ais nel quale trovate anche come caricare i dati senza impiegare il pacchetto DAAG.