L'analisi della varianza o ANOVA – denominazione tradizionalmente impiegata per indicare una serie di tecniche che, a dispetto del nome, consentono di effettuare un confronto globale tra più medie – è stata presentata e illustrata in tutti i suoi aspetti in due post ai quali si rimanda [1].
Qui impieghiamo lo stesso disegno sperimentale riportato per l'analisi della varianza a due fattori e cioè
ma questa volta ciascuna delle misure di produzione per macchina/operatore è stata ripetuta quattro volte al fine di migliorarne la stima. Così ad esempio per macchina i=1 e operatore j=2 nel file di dati che impieghiamo oltre al valore singolo 45.7 riportato qui sopra nella tabella originaria abbiamo in aggiunta le misure 46.9, 49.1 e 45.2 (questi dati sono stati evidenziati in colore nei dati riportati qui sotto) e quindi in totale quattro misure replicate. Questo è il disegno sperimentale tipico della analisi della varianza a due fattori con replicati.
Per proseguire è necessario:
→ effettuare il download del file di dati anova2r.csv
→ salvare il file nella cartella C:\Rdati\
Per il file di dati trovate link e modalità di download alla pagina Dati, ma potete anche semplicemente copiare i dati riportati qui sotto aggiungendo un ↵ Invio al termine dell'ultima riga e salvarli in C:\Rdati\ in un file di testo denominato anova2r.csv (assicuratevi che il file sia effettivamente salvato con l'estensione .csv).
macchina;operatore;replicato;produzione
i1;j1;1;57.2
i1;j1;2;56.7
i1;j1;3;55.9
i1;j1;4;58.3
i1;j2;1;45.7
i1;j2;2;46.9
i1;j2;3;49.1
i1;j2;4;45.4
i1;j3;1;47.3
i1;j3;2;49.4
i1;j3;3;48.1
i1;j3;4;47.5
i1;j4;1;54.9
i1;j4;2;52.6
i1;j4;3;53.5
i1;j4;4;54.1
i1;j5;1;35.9
i1;j5;2;37.2
i1;j5;3;38.7
i1;j5;4;36.4
i2;j1;1;64.5
i2;j1;2;61.1
i2;j1;3;63.9
i2;j1;4;64.7
i2;j2;1;52.4
i2;j2;2;55.3
i2;j2;3;57.2
i2;j2;4;53.9
i2;j3;1;54.1
i2;j3;2;56.2
i2;j3;3;52.3
i2;j3;4;53.8
i2;j4;1;57.5
i2;j4;2;55.9
i2;j4;3;56.3
i2;j4;4;58.8
i2;j5;1;52.5
i2;j5;2;50.3
i2;j5;3;51.4
i2;j5;4;53.3
i3;j1;1;56.6
i3;j1;2;59.7
i3;j1;3;56.3
i3;j1;4;56.5
i3;j2;1;51.6
i3;j2;2;50.3
i3;j2;3;47.8
i3;j2;4;52.6
i3;j3;1;49.5
i3;j3;2;52.7
i3;j3;3;49.1
i3;j3;4;47.7
i3;j4;1;56.9
i3;j4;2;58.5
i3;j4;3;57.1
i3;j4;4;55.2
i3;j5;1;44.2
i3;j5;2;46.7
i3;j5;3;43.9
i3;j5;4;42.6
Per l'analisi della varianza anche in questo caso viene impiegata la funzione aov() impiegata per le altre [1] specificando questa volta che la variabilità deve essere decomposta in variabilità dovuta alla macchina, dovuta all'operatore e dovuta ai replicati eseguiti.
Copiate e incollate nella Console di R questo script e premete ↵ Invio.
# ANOVA analisi della varianza a due fattori con replicati
#
mydata <- read.table("c:/Rdati/anova2r.csv", header=TRUE, sep=";", dec=".") # importa i dati
#
anova2r <- aov(produzione~macchina+operatore+replicato, data=mydata) # calcola la variabilità tra macchine, operatori e replicati
#
summary(anova2r) # mostra i risultati
#
Il risultato della ANOVA
> summary(anova2r) # mostra i risultati
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
macchina 2 602.8 301.4 54.792 1.58e-13 ***
operatore 4 1552.2 388.1 70.544 < 2e-16 ***
replicato 1 0.3 0.3 0.048 0.827
Residuals 52 286.0 5.5
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
ci dice che le differenze di produzione tra le tre macchine e le differenze di produzione tra i cinque operatori sono significative, mentre le misure di produzione replicate all'interno della stessa coppia macchina/operatore non differiscono significativamente (p=0.827).
Possiamo avere anche un riscontro grafico dei dati, copiate e incollate nella Console di R queste righe e premete ↵ Invio.
# traccia boxplot per macchina e operatore
#
boxplot(produzione~macchina+operatore, data=mydata)
#
(per mostrare sulle ascisse i nomi di tutte le variabili, dopo avere generato il grafico ho "afferrato" con il mouse il lato sinistro della finestra per allargarla)
A questo punto manca però la verifica che i dati siano conformi ai due assunti alla base dell'ANOVA, che abbiano cioè:
→ una distribuzione normale (gaussiana);
→ varianze omogenee;
due esigenze che abbiamo già illustrato nei precedenti post sulla ANOVA [1].
Per valutare la normalità (gaussianità) dei dati impieghiamo il test di normalità di Shapiro-Wilk, copiate queste ultime righe, incollatele nella Console di R e premete ↵ Invio:
# ANOVA verifica della normalità delle distribuzioni
#
mac <- split(mydata$produzione, mydata$macchina) # estrae e separa i dati di produzione per macchina
#
sapply(mac, shapiro.test) # verifica se i dati delle macchine sono distribuiti in modo gaussiano
#
La funzione split() estrae dall'oggetto mydata i dati di produzione (mydata$produzione) per ciascuna macchina (mydata$macchina) e li riporta, separatamente, nell'oggetto mac. Se digitate
mac
potete vedere come sono organizzati i dati estratti per le tre macchine.
> mac
$i1
[1] 57.2 56.7 55.9 58.3 45.7 46.9 49.1 45.4 47.3 49.4 48.1 47.5 54.9 52.6 53.5
[16] 54.1 35.9 37.2 38.7 36.4
$i2
[1] 64.5 61.1 63.9 64.7 52.4 55.3 57.2 53.9 54.1 56.2 52.3 53.8 57.5 55.9 56.3
[16] 58.8 52.5 50.3 51.4 53.3
$i3
[1] 56.6 59.7 56.3 56.5 51.6 50.3 47.8 52.6 49.5 52.7 49.1 47.7 56.9 58.5 57.1
[16] 55.2 44.2 46.7 43.9 42.6
A questo punto con la funzione sapply() il test di Shapiro-Wilk viene applicato automaticamente ai dati delle tre macchine.
> sapply(mac, shapiro.test) # verifica se i dati delle macchine sono distribuiti in modo gaussiano
i1 i2
statistic 0.9202174 0.9052156
p.value 0.1000444 0.05170547
method "Shapiro-Wilk normality test" "Shapiro-Wilk normality test"
data.name "X[[i]]" "X[[i]]"
i3
statistic 0.9449654
p.value 0.2970447
method "Shapiro-Wilk normality test"
data.name "X[[i]]"
Ora valutiamo l'omogeneità delle varianze impiegando il test di Levene, copiate queste righe, incollatele nella Console di R e premete ↵ Invio:
# Test di Levene per l'omogeneità tra varianze
#
library(car) # carica il pacchetto necessario per eseguire il test
#
leveneTest(produzione~macchina, data=mydata) # verifica se le varianze risultano omogenee
#
Dopo avere caricato il pacchetto car il test di Levene viene eseguito impiegando la funzione leveneTest() sui dati di produzione per ciascuna delle tre macchine (produzione~macchina). Il messaggio di avvertimento può essere ignorato in quanto ci dice semplicemente che la funzione ha trasformato automaticamente la nostra variabile in una variabile "fattore".
> leveneTest(produzione~macchina, data=mydata) # verifica se le varianze risultano omogenee
Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
Df F value Pr(>F)
group 2 2.4955 0.09142 .
57
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Messaggio di avvertimento:
In leveneTest.default(y = y, group = group, ...) : group coerced to factor.
Il valor di p (0.09142) ci dice che le varianze sono omogenee, quindi anche questo assunto è rispettato.
La conclusione: stabilito che per i dati di produzione per macchina i due requisiti del modello statistico alla base dell'ANOVA sono rispettati, possiamo accettare il risultato della analisi della varianza a due fattori con replicati che ci dice che esiste una differenza statisticamente significativa tra le medie di produzione delle tre macchine (p=1.58e-13).
Sono lasciati come esercizio l'applicazione del test di normalità e del test di omogeneità tra varianze ai dati di produzione per operatore e le relative conclusioni, mentre per questo specifico disegno della ANOVA valgono, identiche, le considerazioni generali riportate nei due post precedenti, ai quali si rimanda [1]
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[1] Vedere il post Analisi della varianza a un fattore e il post Analisi della varianza a due fattori.
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