Grafici di dispersione (scatterplot)

I grafici di dispersione (scatter plot o scatterplot) sono lo strumento base per visualizzare su un sistema di coordinate cartesiane le coppie di valori x,y di due variabili numeriche nel caso di distribuzioni bivariate.

Prendiamo come esempio i dati ematologici relativi agli eritrociti (o globuli rossi), la cui funzione essenziale come noto è trasportare l'ossigeno dai polmoni a tutti gli altri organi e tessuti, e per i quali valgono in media i seguenti dati (arrotondati per semplicità) :

→ gli eritrociti hanno una concentrazione nel sangue all'incirca di 5·10¹²/L (ovvero ve ne sono all'incirca cinquemila miliardi in un litro di sangue);

→ un eritrocito ha un volume all'incirca di 90 fL (un femtolitro corrisponde a 10^-15 litri quindi un globulo rosso ha un volume all'incirca di 0.00000000000090 litri).

Da questi dati si ricava che la percentuale del volume del sangue occupata dagli eritrociti (detta valore ematòcrito, e uguale alla concentrazione degli eritrociti moltiplicata per il volume di un eritrocito) è il 45% (la restante parte, esclusi i globuli bianchi e le piastrine, che occupano un volume irrilevante, è liquida ed è rappresentata dal plasma). Ma non solo. Da questi dati si ricava anche che il valore ematòcrito dipende in modo lineare dalla concentrazione degli eritrociti. Possiamo quindi dare un senso al prossimo script, che traccia i grafici di dispersione di queste due grandezze.

I dati sono contenuti nella tabella ais del pacchetto DAAG - accertatevi di avere installato il pacchetto o in alternativa procedete come indicato in [1].

Copiate lo script e incollatelo nella Console di R e premete ↵ Invio:

# GRAFICI DI DISPERSIONE (XY)

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library(DAAG) # carica il pacchetto che include il set di dati ais

str(ais) # struttura di ais

attach(ais) # consente di impiegare direttamente i nomi delle variabili

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windows() # apre e inizializza una nuova finestra grafica

par(mfrow=c(2,2)) # predispone la suddivisione della finestra in quattro quadranti, uno per grafico

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plot(rcc, hc, xlab="Eritrociti (10^12/L)", ylab="Ematòcrito (%)", main="Grafico di dispersione") # grafico di dispersione semplice

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plot(rcc, hc, pch=2, col="goldenrod", xlab="Eritrociti (10^12/L)", ylab="Ematòcrito (%)", main="Cambia simbolo e colore") # cambia simbolo e colore

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plot(rcc, hc, pch=1, col="black", abline(lm(hc~rcc), col="red", lty=1, lwd=1), xlab="Eritrociti (10^12/L)", ylab="Ematòcrito (%)", main="Retta di regressione") # grafico con retta di regressione

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plot(rcc, hc, xlim=c(3,7), ylim=c(30,70), xaxp=c(3, 7, 4), yaxp=c(30, 70, 4), pch=20, col="black", abline(lm(hc~rcc), col="black", lty=1, lwd=1), xlab="Eritrociti (10^12/L)", ylab="Ematòcrito (%)", main="Ridimensiona gli assi") # ridimensiona gli assi

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detach(ais) # termina l'impiego diretto dei nomi delle variabili 

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Dopo avere caricato il pacchetto che include il set di dati ais e dopo averne mostrato la sua struttura con str(ais), viene impiegata la funzione attach(ais) al fine di consente, nelle funzioni successive, di impiegare direttamente i nomi delle variabili incluse nel set di dati.

Per semplificare la presentazione grafica, con par(mfrow=c(2,2)) la finestra viene suddivisa in quattro quadranti, uno per ciascuno dei grafici che verranno preparati.

Il primo grafico, in alto a sinistra, lascia per la maggior parte degli argomenti della funzione plot() i valori di default, specificando solamente quelli essenziali [2]:

→ rcc la variabile da riportare sull'asse delle ascisse x;

→ hc la variabile da riportare sull'asse delle ordinate y;

→ xlab="" l'etichetta da riportare per l'asse delle x;

→ ylab="" l'etichetta riportata per l'asse delle y;

→ main="" il titolo del grafico che compare in alto.

Nel secondo grafico, in alto a destra, sono aggiunti gli argomenti:

→ pch=2 che specifica per i dati l'impiego di un simbolo (triangolo) differente da quello di default (che è il cerchio) [3];

→ col="goldenrod" che specifica per il simbolo dei dati l'impiego di un colore diverso dal nero [4].

Nel terzo grafico, in basso a sinistra, viene riportata una retta mediante la funzione abline() che impiega come argomenti:

→ l'equazione della retta, che altro non è se non la retta di regressione calcolata con la funzione lm() che a sua volta impiega come argomenti hc~rcc per specificare rispettivamente la variabile in ordinate e la variabile in ascisse;

→ il colore della retta (col="red");

→ il tipo di linea da impiegare (lty=1), uno dei sei possibili con i valori da 1 a 6 [5];

→ lo spessore della linea (lwd=1) espresso come multiplo dello spessore di default (1 uguale spessore, 2 spessore doppio, eccetera).

Nel quarto grafico, in basso a destra, compaiono quattro nuovi argomenti, che consentono di gestire in modo personalizzabile a piacere le scale degli assi e la loro suddivisione:

→ xlim = c(3,7) indica limite inferiore e limite superiore della scala applicata all'asse delle ascisse, trattandosi di valori di concentrazione degli eritrociti espressi in 10¹²/L questo significa che l'asse delle ascisse riporterà i valori compresi tra 3·10¹²/L e 7·10¹²/L;

→ ylim = c(30,70) indica limite inferiore e limite superiore della scala applicata all'asse delle ordinate, che, trattandosi di valori di percentuale, varieranno quindi tra 30% e 70%;

→ xaxp = c(3, 7, 4) dice che sull'asse delle ascisse la scala che va da 3·10¹²/L a 7·10¹²/L deve essere suddivisa in quattro intervalli, quindi sull'asse delle ascisse compariranno cinque tacche con i valori 3, 4, 50, 6, 7;

→ yaxp = c(30,70,4) dice che sull'asse delle ordinate la scala che va da 30% e 70% deve essere suddivisa in quattro intervalli, quindi sull'asse delle ordinate compariranno cinque tacche con i valori 30, 40, 50, 60, 70.

Lo script si chiude con la funzione detach() che pone termine all'impiego diretto dei nomi delle variabili. In altre parole la variabile rcc ora diventa ais$rcc, la variabile hc ora diventa ais$hc e così via.

Vediamo ora due grafici che aiutano ad evidenziare le relazioni tra le variabili riportando tutti i possibili grafici di dispersione singoli che risultano incrociando i dati ematologici contenuti nelle seguenti variabili del set di dati ais: rcc (eritrociti), wcc (leucociti), hc (ematòcrito), hg (emoglobina) e ferr (ferritina). 

I grafici sono realizzati mediante i pacchetti aggiuntivi car e gclus: se non l'avete già fatto, dovete scaricarli e installarli dal CRAN.

Copiate e incollate nella Console di R lo script e premete ↵ Invio:

# GRAFICI DI DISPERSIONE MULTIPLI 

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library(DAAG) # carica il pacchetto che include il set di dati ais

library(car) # carica il pacchetto per la grafica

windows() # apre e inizializza una nuova finestra grafica

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# grafici di dispersione con istogrammi delle variabili

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scatterplotMatrix(~rcc+wcc+hc+hg+ferr, col="black", pch=20, regLine = list(method=lm, lty=1, lwd=2, col="chartreuse3"), smooth=FALSE, diagonal=list(method ="histogram", breaks="FD"), main="Matrice di dispersione con rette di regressione", data=ais) # mostra il grafico

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L'argomento ~rcc+wcc+hc+hg+ferr definisce le variabili da rappresentare, e può essere facilmente riscritto per cambiare la rappresentazione a piacere. Ad esempio ponendo questo argomento uguale a ~rcc+wcc+hc+hg+ferr+bmi+ssf+pcBfat+lbm+ht+wt si possono rappresentare in uno stesso grafico tutte le variabili del set di dati ais.

Per la retta di regressione sono impiegati una linea continua (lty=1), uno spessore doppio (lwd=2) e un colore (col="chartreuse3") diverso dal nero, mentre l'argomento smooth=FALSE fa si che non venga aggiunta ai grafici la rappresentazione della funzione non lineare prevista di default nel pacchetto car.

Infine l'argomento diagonal=list() indica la rappresentazione della variabile riportata nella diagonale, che qui è l'istogramma (method ="histogram") con il numero di classi (breaks="FD") calcolato mediante la regola di Freedman-Diaconis. L'istogramma può essere sostituito con altri tipi di rappresentazione, l'elenco delle espressioni che è possibile impiegare in alternativa per questo argomento (provatele) è:

→ diagonal=list(method="density",  bw="nrd0", adjust=1, kernel="gaussian", na.rm=TRUE)

→ diagonal=list(method="boxplot")

→ diagonal=list(method="qqplot")

→ diagonal=list(method="oned")

Copiate e incollate nella Console di R lo script e premete ↵ Invio:

# GRAFICI DI DISPERSIONE MULTIPLI ordinati in base al valore di r

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library(DAAG) # carica il pacchetto incluso il set di dati ais

library(gclus) # carica il pacchetto per la grafica

windows() # apre e inizializza una nuova finestra grafica

mydata <- ais[c(1,2,3,4,5)] # tabella con i dati delle variabili delle colonne 1,2,3,4,5

mydata.r <- abs(cor(mydata)) # calcola la correlazione

mydata.col <- dmat.color(mydata.r) # applica i colori

mydata.o <- order.single(mydata.r) # ordina le variabili, le meglio correlate più vicine alla diagonale

cpairs(mydata, mydata.o, panel.colors=mydata.col, gap=.5, main="Variabili meglio correlate vicine alla diagonale") # mostra il grafico

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Viene realizzato un grafico di dispersione multiplo che incrocia ancora i dati ematologici degli atleti contenuti nelle cinque variabili rcc (eritrociti), wcc (leucociti), hc (ematòcrito), hg (emoglobina) e ferr (ferritina) ma con due novità.

La prima è che le variabili ora sono individuate non mediante il loro nome bensì indicando, con l'espressione ais[c(1,2,3,4,5)], il set di dati che le contiene e il numero della colonna corrispondente a ciascuna variabile

La seconda novità è che impiegando la funzione cpairs() [6] i singoli grafici di dispersione vengono ordinati in base al valore del coefficiente di correlazione r di Pearson, in modo che le variabili meglio correlate, quelle per le quali la retta di regressione pare essere un'approssimazione ragionevole, siano le più vicine alla diagonale ed evidenziate in colore, aumentando così la chiarezza della rappresentazione grafica.

Potete riutilizzare facilmente lo script sostituendo all'oggetto ais l'oggetto contenente i vostri dati, opportunamente strutturati, e modificando conseguentemente i nomi della variabili. Per una guida rapida all'importazione dei dati potete consultare i post:

→ importazione dei dati da un file .csv

→ importazione dei dati da un file .xls o .xlsx

→ gestione dei dati mancanti

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[1] Vedere il post Il set di dati ais nel quale trovate anche come caricare i dati della tabella senza impiegare il pacchetto DAAG.

[2] Per la documentazione sugli argomenti della funzione plot() digitare help(plot) nella Console di R, e in aggiunta consultare la documentazione sugli argomenti della funzione par() con help(par).

[3] Per i diversi simboli che è possibile impiegare per tracciare i punti vedere il post I simboli dei punti di R.

[4] Per i colori che è possibile impiegare vedere il post La tabella dei colori di R.

[5] Per le linee che è possibile impiegare vedere il post Gli stili delle linee di R.

[6] Digitate help(cpairs) nella Console di R per la documentazione della funzione cpairs() ovvero consultate il manuale di riferimento del pacchetto gclus su: Available CRAN Packages By Name. URL consultato il 20/10/2018: https://goo.gl/hLC9BB