Il primo a suggerire l'impiego del metodo dei minimi quadrati, denominandolo proprio in questo modo, è Legendre, in un testo del 1805 che molti troveranno inatteso
perché ha a che fare con i metodi per la determinazione delle orbite delle comete.
Nell'introduzione al volume, Legendre scrive [1]:
"...il metodo che mi sembra più semplice e generale consiste nel minimizzare la somma dei quadrati degli errori. Questo fornisce tante equazioni quanti sono i coefficienti incogniti, completando così la determinazione di tutti gli elementi dell'orbita. Poiché il metodo che ho appena descritto, che chiamo metodo dei minimi quadrati, può essere di grande utilità in tutte le questioni di fisica e astronomia in cui si tratta di ricavare i risultati più accurati dalle osservazioni, ho aggiunto, in appendice, dettagli specifici su questo metodo..."
Il secondo a descrivere il metodo è il matematico (autodidatta) Robert Adrain, un esule politico irlandese che negli Stati Uniti fonda la rivista matematica "The Analyst, or, Mathematical Museum", sulla quale nella quarta uscita del primo volume pubblica nel 1808 un articolo sulla probabilità degli errori nel corso delle osservazioni nel quale riporta [2]:
"Ne consegue che, se si cerca un punto tale che la somma dei quadrati delle sue distanze da un qualsiasi numero di punti fissi sia minima, il punto richiesto sarà il baricentro di tutti i punti fissi…".
Gauss nel 1809 – dopo, si narra, avere attaccato Legendre affermando di essere stato lui a ideare il metodo anni prima, ma senza pubblicarlo, un fatto che consente a Legendre di uscire a testa alta dalla polemica – riporta il metodo in un volume sul moto dei corpi celesti in sezioni coniche attorno al Sole [3]:
"Inoltre, il principio secondo cui i quadrati delle differenze tra le quantità osservate e quelle calcolate dovrebbero produrre la somma più piccola possibile può essere considerato indipendentemente dal calcolo della probabilità nel modo seguente ..."
aggiungendo poi alla pagina seguente:
"Designando le differenze tra osservazioni e calcoli con Δ, Δ', Δ" ecc., la condizione a priori sarà soddisfatta non solo se ΔΔ + Δ'Δ' + Δ"Δ" + ecc. diventa minimo (che è il nostro principio), ma anche se Δ⁴ + Δ'⁴ + Δ"⁴ + ecc., o Δ⁶ + Δ'⁶ + Δ"⁶ + ecc., o in generale la somma delle potenze di un esponente di qualsiasi coppia tende a un minimo. Ma di entrambi i principi, il nostro [che prevede i quadrati] è il più semplice, mentre negli altri saremmo condotti a calcoli più complicati...".
Solamente molti anni dopo Francis Galton in un primo lavoro del 1877 sull'ereditarietà parla di "reversione":
"La reversione è la tendenza di quel tipo filiale medio ideale a discostarsi dal tipo genitore, "revertendo" verso quello che può essere approssimativamente e forse giustamente descritto come il tipo ancestrale medio"
E qualche anno dopo, nel 1886, sempre Galton impiega per la prima volta il termine "regressione" nel titolo di un lavoro.
Infine la terminologia oggi consolidata per indicare uno degli utilizzi più tradizionali in statistica del metodo dei minimi quadrati la ereditiamo da Fisher, che nel 1922 pubblica un lavoro nel quale discute i "test per la bontà dell'adattamento delle rette di regressione" ("tests of goodness of fit of regression lines") [5], in questo modo valorizzando e diffondendo l'impiego della regressione lineare.
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[1] Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes, par A.-M.
Legendre. A Paris, AN XIII – 1805.
"... la méthode qui me paroit la plus simple et la plus générale, consiste à rendre minimum la somme des quarrés des erreurs. On obtient ainsi autant d'équations qu'il y a de coefficiens inconnus; ce qui achève de déterminer tous les élémens de !'orbite. Comme la méthode dont je viens de parler, et que j'appelle méthode des moindres quarrés, peut ètre d'une grande utilité dans toules !es questions de physique et d'astronomie où il s'agil de tirer de l'observation les résultats les plus exacts qu'elle peut offrir; j'ai ajoulé, dans une appendice, des détaiJs particulierssur cette méthode ...", p. viij.
https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15209372/
[2] The Analyst; or Mathematical Museum, Vol. 1, No. 4, (1808). ARTICLE XIV. Research concerning the probabilities of the errors which happen in making observations, &c. BY ROBERT ADRAIN.
"Hence it follows that if a point be sought such that the sum of the squares ot its distances from any number of fixed points may be a minimum, the point required will be the centre of gravity of all the fixed points...", p. 100.
https://archive.org/details/sim_analyst-or-mathematical-museum_the-analyst-or-mathema_1808_1_4/
[3] Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientiu. Auctore Carolo Friderico Gauss, 1809.
"Ceterum principium, quod quadrata differentiarum inter quantitates observatas et computatas summam quam minimam producere debeant, eliam independenter a calculo probabilitatis sequenti modo considerari poterit...", p. 220.
"Designando differentias inter observationes et calculum per Δ, Δ', Δ" etc., conditioni priori non modo satisfiet, si ΔΔ + Δ'Δ'+ Δ"Δ" + etc. fit minimum (quod est principium nostrum), sed etiam si Δ⁴+Δ'⁴ + Δ"⁴+ etc., vel Δ⁶ + Δ'⁶ + Δ"⁶ + etc., vel generaliter summa potestatum exponentis cuiuscunque paris in minimum abit. Sed ex omnibus bis principiis nostrum simplicissimum est, dum in reliquis ad calculos complicalissimos deferremur...", p. 221.
https://archive.org/details/bub_gb_ORUOAAAAQAAJ
[4] Francis Galton. Typical Laws of Heredity. In: Weekly evening meeting, Friday, February 9, 1877.
"Reversion is the tendency of that ideal mean filial type to depart from the parent type, “reverting” towards what may be roughly and perhaps fairly described as the average ancestral type", p. 291.
https://galton.org/essays/1870-1879/galton-1877-roy-soc-typical-laws-heredity.pdf
Francis Galton. Regression towards Mediocrity in Hereditary Stature. In: Anthropological miscellanea.
https://galton.org/essays/1880-1889/galton-1886-jaigi-regression-stature.pdf
[5] R. A. Fisher. The Goodness of Fit of Regression Formulæ, and the Distribution of Regression Coefficients. Journal of the Royal Statistical Society, Volume 85, Issue 4, July 1922, p. 597.
https://academic.oup.com/jrsssa/article/85/4/597/7014753
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